TERCEIRA QUANTIZAÇÃO E RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI

Função de Green

ESTADOS DE ENERGIAS  QUÂNTICO DE GRACELI.

se tem sensibilidades térmicas diferentes conforme os tipos de materiais e tipos de energias que são empregadas, provando assim que os estados de energias e quântico variam conforme são empregadas tipos diferenciados de energias.


ou seja, com amesma temperatura se tem sensibilidades variadas conforme esta temperaura foi produzida sobre um esmo material.

e o mesmo acorre sobre materiais diferenciados.

ou seja, estados de energias variados em mesmos materiais, e também em materiais diferenciados.

X

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

VEZES TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Em matemática, uma função de Green é um tipo de função utilizada para resolver equações diferenciais não-homogêneas sujeitas a condições iniciais ou condições de contorno determinadas. Na teoria de muitos corpos, essa terminologia também é utilizada na física, especificamente na teoria quântica de campos, eletrodinâmica e teoria estatística de campos para se referir a vários tipos de funções de correlação, mesmo aquelas que não se encaixam na definição matemática.

As funções de Green têm esse nome em homenagem ao matemático britânico George Green, que foi o primeiro a desenvolver o conceito na década de 1830. No estudo moderno das equações diferenciais parciais, as funções de Green são estudadas principalmente do ponto de vista das soluções fundamentais.

Definição e aplicações[editar | editar código-fonte]

Uma função de Green, G(x, s), de um operador diferencial linear L = L(x), atuando em distribuições de um subconjunto do espaço euclidiano Rⁿ, em um ponto s, é qualquer solução de

${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)}$

onde ${\displaystyle \delta }$ é a função delta de Dirac. Esta propriedade de uma função de Green pode ser explorada para resolver equações diferenciais da forma

${\displaystyle Lu(x)=f(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)}$

Se o núcleo de L é não-trivial, então a função de Green não é única. No entanto, na prática, uma combinação de simetria, condições de contorno e/ou outros critérios impostos a priori dará uma função de Green única. Além disso, funções de Green em geral são distribuições, não necessariamente funções próprias.

Funções de Green também são uma ferramenta útil na resolução de equações da onda, equações de difusão e na mecânica quântica, onde a função de Green do hamiltoniano é um conceito chave, com ligações importantes para o conceito de densidade dos estados. À via de nota, a função de Green utilizada na física é geralmente definida com o sinal oposto, isto é,

${\displaystyle LG(x,s)=-\delta (x-s)\,}$

Esta definição não altera significativamente qualquer uma das propriedades da função de Green.

Se o operador é invariante por translações, o que ocorre quando L tem coeficientes constantes em relação a x, então a função de Green pode ser considerada como um operador de convolução, ou seja,

${\displaystyle G(x,s)=G(x-s)\,}$

Neste caso, a função de Green é o mesmo que a resposta ao impulso da teoria de sistemas LTI.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Ver também: Teoria espectral

Grosso modo, se tal função G pode ser encontrada para o operador L, então se multiplicarmos a equação (1) pela função de Green por f(s) e em seguida realizarmos uma integração na variável s, obtemos;

${\displaystyle \int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)\,ds=f(x)}$

O membro direito é agora dado pela equação (2), sendo então igual a L u(x). Assim:

${\displaystyle Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)\,ds}$

Como o operador L = L(x) é linear e atua sobre a variável x sozinha (e não sobre a variável de integração s), podemos retirar o operador L do sinal de integração no 2º membro, obtendo-se

${\displaystyle Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)\,ds\right)}$

E isto sugere que

${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)\,ds\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3)}$

Assim, podemos obter a função u(x) através da função de Green que deve ser obtida da equação (1) e do termo fonte do segundo membro da equação (2). Este processo reside na linearidade do operador L.

Em outras palavras, a solução da equação (2), u(x), pode ser determinada pela integral dada na equação (3). Embora f(x) seja conhecida, esta integração não pode ser realizada, a menos que G seja também conhecida. O problema agora reside em encontrar a função de Green G que satisfaz a equação (1). Por esta razão, a função de Green é chamada também às vezes de solução fundamental associada ao operador L.

Nem todo operador L admite uma função de Green. Uma função de Green também pode ser pensada como sendo um inverso pela direita de L. Além das dificuldades de encontrar-se uma função de Green para um determinado operador, a integral na equação (3) pode ser bastante difícil de se calcular. No entanto, o método fornece um resultado teoricamente exato.

Isto pode ser pensado como uma expansão de f de acordo com uma base de funções delta de Dirac (projetando-se f sobre δ(x − s)) e uma superposição da solução de cada projetor. Tal equação integral é conhecida como equação integral de Fredholm; o seu estudo constitui a teoria de Fredholm.

Funções de Green para a solução de problemas de valores de contorno não-homogêneos[editar | editar código-fonte]

A principal utilização das funções de Green na matemática é a resolução de problemas de valores de contorno não-homogêneos. Na física teórica moderna, as funções de Green são também geralmente utilizadas como propagadores em diagramas de Feynman (e a expressão função de Green é muitas vezes usada para qualquer função de correlação).

Estrutura matemática[editar | editar código-fonte]

Seja L o operador de Sturm-Liouville, um operador diferencial linear da forma

${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$

e seja D o operador condição de contorno

${\displaystyle Du={\begin{cases}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{cases}}}$

Seja f(x) uma função contínua em [0,l]. Devemos também supor que o problema

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}}$

é regular (isto é, só a solução trivial existe para o problema homogêneo).

Teorema[editar | editar código-fonte]

Há uma e apenas uma solução u(x) que satisfaz

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}}$

e é dada por

${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)G(x,s)\,ds}$

onde G(x,s) é uma função de Green que satisfaz as seguintes condições:

1. G(x,s) é contínua em x e s
2. Para ${\displaystyle x\neq s}$, ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. Para ${\displaystyle s\neq 0}$, ${\displaystyle DG(x,s)=0}$
4. Descontinuidade na derivada: ${\displaystyle G'(s_{+0},s)-G'(s_{-0},s)=1/p(s)}$
5. Simetria: G(x, s) = G(s, x)

Calculando funções de Green[editar | editar código-fonte]

Expansão em autovalores[editar | editar código-fonte]

Se um operador diferencial L admite um conjunto de autovetores ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$ (ou seja, um conjunto de funções ${\displaystyle \Psi _{n}}$ e escalares ${\displaystyle \lambda _{n}}$ tais que ${\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n})}$) que são completos, então é possível construir uma função de Green a partir destes autovetores e autovalores.

Completo significa que o conjunto de funções ${\displaystyle \left\{\Psi _{n}\right\}}$ satisfaz a seguinte relação de completeza:

${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{*}(x)\Psi _{n}(x')}$

Então o seguinte se aplica:

${\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{*}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}}$

onde * representa a conjugação complexa.

Aplicando o operador L nos dois membros desta equação resulta na relação de completeza, que assumimos ser verdadeira.

O estudo geral da função de Green apresentado na forma acima, e sua relação com os espaços de funções formados por autovetores, é conhecido como teoria de Fredholm.

Funções de Green para o Laplaciano[editar | editar código-fonte]

As funções de Green para os operadores diferenciais lineares envolvendo o Laplaciano podem ser facilmente postas em uso com a segunda das identidades de Green.

Para deduzir o teorema de Green, comece com o teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss):

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot {\vec {A}}\ dV=\int _{S}{\vec {A}}\cdot d{\hat {\sigma }}}$

Seja ${\displaystyle {\vec {A}}=\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi }$ e substitua na lei de Gauss. Calcule ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}}$ e applique a regra da cadeia para o operador ${\displaystyle \nabla }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\vec {A}}&=\nabla \cdot (\phi \nabla \psi \;-\;\psi \nabla \phi )\\&=(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\phi \nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\phi \\&=\phi \nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \nabla ^{2}\phi \end{aligned}}}$

Substituindo no teorema da divergência, temos o teorema de Green:

${\displaystyle \int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}}$

Suponha que o operador diferencial linear L é o Laplaciano, ${\displaystyle \nabla ^{2}}$, e que existe uma função de Green G para o Laplaciano. A propriedade que define a função de Green ainda se aplica:

${\displaystyle LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')}$

Seja ${\displaystyle \psi =G}$ no teorema de Green. Então:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{V}\left[\phi (x')\delta (x-x')-G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\right]\ d^{3}x'\\[6pt]&=\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'\end{aligned}}}$

Com esta expressão, é possível resolver a equação de Laplace ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=0}$ ou a equação de Poisson ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=-\rho (x)}$, sob tanto pelas condições de contorno de Neumann como pelas condições de contorno de Dirichlet. Em outras palavras, podemos resolver para ${\displaystyle \phi (x)}$ em qualquer ponto dentro de um volume onde: (1) o valor de ${\displaystyle \phi (x)}$ é especificado na superfície delimitadora do volume (condições de contorno de Dirichlet), ou; (2) a derivada normal de ${\displaystyle \phi (x)}$ é especificada na superfície delimitadora (condições de contorno de Neumann).

Suponha que o problema seja resolver para ${\displaystyle \phi (x)}$ dentro da região. Então a integral

${\displaystyle \int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}}$

reduz-se simplesmente a ${\displaystyle \phi (x)}$, devido à propriedade da definição da função delta de Dirac, e temos:

${\displaystyle \phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho (x')\ d^{3}x'+\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'}$

Esta fórmula expressa a propriedade bem conhecida das funções harmônicas que se seu valor ou sua derivada normal é conhecida sobre uma superfície delimitadora, então seu valor dentro do volume é conhecido em todos os pontos.

Em eletrostática, ${\displaystyle \phi (x)}$ é interpretada como o potencial elétrico, ${\displaystyle \rho (x)}$ como a densidade de carga elétrica e a derivada normal ${\displaystyle \nabla \phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'}$ como a componente normal do campo elétrico.

Se o problema é resolver um problema de valor de contorno de Dirichlet, a função de Green deve ser escolhida de forma que ${\displaystyle G(x,x')}$ se anule quando x ou x' está sobre a superfície delimitadora. Assim, sobra apenas um dos dois termos na integral de superfície. Se o problema é resolver um problema de valor de contorno de Neumann, a função de Green é escolhida de forma que sua derivada normal se anule na superfície delimitadora, já que esta parece ser a escolha mais lógica. (Veja "Eletrodinâmica clássica", J. D. Jackson, página 39).

Sem as condições de contorno, a função de Green para o Laplaciano (função de Green para a equação de Laplace em três dimensões) é:

${\displaystyle G(x,x')={\dfrac {1}{|x-x'|}}}$

Supondo que a superfície limite estenda-se ao infinito e substituindo a função de Green nessa expressão, temos a conhecida expressão do potencial elétrico em termos da densidade de carga (no sistema de unidades CGS):

${\displaystyle \phi (x)=\int _{V}{\dfrac {\rho (x')}{|x-x'|}}\,d^{3}x'}$

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Dado o problema

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=0\end{aligned}}}$

Encontre a função de Green.

Primeiro passo: A função de Green para o operador linear é definida como a solução de

${\displaystyle g''(x)+g(x)=\delta (x-s).\,}$

Se ${\displaystyle x\neq s}$, então a função delta é nula, e a solução geral é

${\displaystyle g(x,s)=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x.}$

Para ${\displaystyle x<s}$, a condição de contorno em ${\displaystyle x=0}$ implica que

${\displaystyle g(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$

A equação ${\displaystyle g\left({\dfrac {\pi }{2}},s\right)=0}$ é ignorada porque ${\displaystyle x\neq {\dfrac {\pi }{2}}}$ se ${\displaystyle \quad x<s}$ e ${\displaystyle s\neq {\dfrac {\pi }{2}}}$.

Para ${\displaystyle x>s}$, a condição de contorno em ${\displaystyle x=\pi /2}$ implica que

${\displaystyle g\left({\dfrac {\pi }{2}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$

A equação ${\displaystyle \quad g(0,s)=0}$ é ignorada por razões semelhantes.

Resumindo os resultados até então:

${\displaystyle g(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin x,&{\text{se }}x<s\\c_{3}\cos x,&{\text{se }}s<x\end{cases}}}$

Segundo passo: A próxima tarefa é determinar ${\displaystyle c_{2}}$ and ${\displaystyle c_{3}}$.

Garantindo a continuidade da função de Green em ${\displaystyle x=s\,\!}$, temos que

${\displaystyle c_{2}\sin s=c_{3}\cos s\,}$

O operador ${\displaystyle L}$ equivale ao operador de Sturm-Liouville com ${\displaystyle p(x)=1}$ e ${\displaystyle q(x)=1}$. Pela condição de descontinuidade da derivada,

${\displaystyle Lim_{\epsilon \rightarrow 0}\ G'(s+\epsilon ,s)-G'(s-\epsilon ,s)=1/p(s)}$, temos

${\displaystyle c_{3}\cdot [-\sin s]-c_{2}\cdot \cos s=1\,}$

As duas equações (des)contínuas podem ser resolvidas para ${\displaystyle c_{2}}$ e ${\displaystyle c_{3}}$ para obter

${\displaystyle c_{2}=-\cos s\quad ;\quad c_{3}=-\sin s}$

Assim a função de Green para este problema é:

${\displaystyle g(x,s)={\begin{cases}-\cos s\sin x,&x<s\\-\sin s\cos x,&s<x\end{cases}}}$

Outros exemplos[editar | editar código-fonte]

• Seja n = 1 e seja R o subconjunto. Seja L=d/dx. Então a função degrau de Heaviside H(x − x₀) é uma função de Green de L em x₀.
• Seja n = 2 e seja o plano { (x, y) : x, y ≥ 0 } o subconjunto e L o Laplaciano. Assuma também que uma condição de contorno de Dirichlet é imposta em x = 0 e uma condição de contorno de Neumann é imposta em y = 0. Então a função de Green é

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad G(x,y,x_{0},y_{0})\\[6pt]&={\dfrac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]\\[6pt]&{}\quad {}+{\dfrac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

As identidades de Green formam um conjunto de três igualdades vetoriais envolvendo integrais.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja ${\displaystyle U\,}$ um conjunto aberto limitado de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ com fronteira ${\displaystyle \partial U\in C^{1}\,}$. Se ${\displaystyle u,v\,\in C^{2}({\overline {U}})\,}$, então:

1. ${\displaystyle \int _{U}\Delta udx=\int _{\partial U}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}dS\,}$
2. ${\displaystyle \int _{U}Du\cdot Dvdx=-\int _{U}u\Delta vdx+\int _{\partial U}{\frac {\partial v}{\partial \nu }}udS\,}$
3. ${\displaystyle \int _{U}(u\Delta v-v\Delta u)dx=\int _{\partial U}({\frac {\partial v}{\partial \nu }}u-{\frac {\partial u}{\partial \nu }}v)dS\,}$

onde ${\displaystyle \nu \,}$ é o vetor unitário exterior normal.

Primeira identidade de Green^[1][editar | editar código-fonte]

Essa identidade é derivada do teorema da divergência aplicada ao campo vetorial ${\displaystyle F=\psi \nabla \varphi }$ e usando a identidade ${\displaystyle \nabla (\varphi X)=\nabla \varphi X+\varphi \nabla X}$ onde ${\displaystyle \varphi }$e ${\displaystyle \psi }$são funções escalares definidas em alguma região ${\displaystyle U\subset R^{d}}$, e supondo que ${\displaystyle \varphi }$é duas vezes continuamente diferenciável, e ${\displaystyle \psi }$é uma vez continuamente diferenciável. Então:

${\displaystyle \int _{U}(\psi \nabla \varphi +\nabla \psi \nabla \varphi )dV=\oint _{\partial U}\psi (\nabla \varphi n)dS=\oint _{\partial U}\psi \nabla \varphi dS}$

onde ${\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}}$é o operador laplaciano, ${\displaystyle \partial U}$é a limite da região ${\displaystyle U}$, n é a unidade normal que aponta para fora dos elementos de superfície ${\displaystyle dS}$e ${\displaystyle dS}$é o elemento de superfície orientada.

Esse teorema é um caso especial do teorema da divergência, e é essencialmente equivalente dimensional superior da integração por partes com ${\displaystyle \psi }$ e o gradiente de ${\displaystyle \varphi }$substituindo ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$.

Note que a primeira identidade de Green acima é um caso especial da identidade geral derivado do teorema da divergência substituindo ${\displaystyle F=\psi \Gamma ,}$

${\displaystyle \int _{U}(\psi \nabla \Gamma +\Gamma \nabla \psi )dV=\oint _{\partial U}\psi (\Gamma n)dS=\oint _{\partial U}\psi \Gamma dS.}$

Segunda identidade de Green[editar | editar código-fonte]

Se ${\displaystyle \varphi }$ e ${\displaystyle \psi }$ forem ambos duas vezes continuamente diferenciáveis em ${\displaystyle U\subset R^{3}}$, e ${\displaystyle \varepsilon }$ uma vez continuamente diferenciável, é possível escolher ${\displaystyle F=\psi \varepsilon \nabla \varphi -\varphi \varepsilon \nabla \psi }$ para obter

${\displaystyle \int _{U}[\psi \nabla (\varepsilon \nabla \varphi )-\varphi \nabla (\varepsilon \nabla \psi )]dV=\oint _{\partial U}\varepsilon (\psi {\partial \phi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n})dS.}$

Para o caso especial de ${\displaystyle \varepsilon }$= 1 em todo ${\displaystyle U\subset R^{3}}$, então,

${\displaystyle \int _{U}(\psi \Delta \varphi -\varphi \Delta \psi )dV=\oint _{\partial U}(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n})dS.}$

Na equação acima, ∂φ/∂n é a derivada direcional de ${\displaystyle \varphi }$na direção do normal n apontada fora para o elemento de superfície ${\displaystyle dS}$,

${\displaystyle {\partial \varphi \over \partial n}=\nabla \varphi n=\nabla n\varphi .}$

Em particular, essa demonstração do Laplaciano auto-adjunto no produto interno de ${\displaystyle L^{2}}$ para funções desaparecendo nos limites.

Terceira identidade de Green[editar | editar código-fonte]

A terceira identidade de Green deriva da segunda identidade ao escolher ${\displaystyle \varphi =G}$, onde a função ${\displaystyle G}$de Green é considerada uma solução fundamental do operador de Laplace ${\displaystyle \Delta }$. Isso significa que:

${\displaystyle \Delta G(x,\eta )=\delta (x-\eta .)}$

Por exemplo, em ${\displaystyle R^{3}}$, a solução tem a forma

${\displaystyle G(x,\eta )={-1 \over 4\pi ||x-\eta ||}.}$

A terceira identidade de Green diz que se ${\displaystyle \psi }$ é uma função duas vezes continuamente diferenciável em ${\displaystyle U}$, então

${\displaystyle \int _{U}[G(y,\eta )\Delta \psi (y)]dVy-\psi (\eta )=\oint _{\partial U}[G(y,\eta ){\partial \psi \over \partial n}(y)-\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}]dSy.}$

A simplificação surge se ${\displaystyle \psi }$for uma função harmônica. Então ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$e a identidade é simplificada para

${\displaystyle \psi (\eta )=\oint _{\partial U}[\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}-G(y,\eta ){\partial \psi \over \partial n}(y)]dSy.}$

O segundo termo na integral acima pode ser eliminado se G é escolhido para ser a função de Green para o limite da região ${\displaystyle U}$ onde o problema é colocado,

${\displaystyle \psi (\eta )=\oint _{\partial U}\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}dS.}$

Essa forma é usada para construir soluções de problemas de contorno de Dirichlet. Para achar soluções para os problemas de contorno de Neumann, a função de Green com desaparecimento do gradiente normal nos limites é usada.

É possível verificar que a identidade acima também se aplica quando ${\displaystyle \psi }$é a solução para a equação de Helmholtz ou equação de onda e ${\displaystyle G}$é a função de Green apropriada. Nesse contexto, a identidade é matematicamente expressa como o princípio de Huygens.

Em processamento de sinais, a resposta ao impulso de um sistema é a saída dele quando em sua entrada é colocado um impulso.

Em sistemas lineares invariantes no tempo (LIT) a resposta ao impulso é uma característica importantíssima. Ela permite calcular a saída do sistema para qualquer sinal de entrada, através da convolução deste com a resposta ao impulso do sistema. Além disso, analisando-se a resposta ao impulso deste tipo de sistema, pode-se caracterizá-lo completamente.

Podemos definir matematicamente o impulso como ${\displaystyle {du(t) \over dt}=\delta (t)}$, onde u(t) é a função degrau (degrau de Heaviside).